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蒲汇塘渔夫

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一介渔夫,随意不羁,近水楼台,捕捞河蟹。河混水臭,依然故我,云低霾沉,静等日升。浑浑灏灏,免疫力大增。贴贴删删,书写量劲升。

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正七边形的任意精度尺规作图及其数学原理  

2010-12-21 10:11:57|  分类: 初等数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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正七边形的任意精度尺规作图及其数学原理 - 捉河蟹的渔夫 - 蒲汇塘渔夫

渔夫在画正七边形时,一直在考虑如何用一种通用的办法来做到任意的精度。上图是刚开始想到的办法。渔夫又找了一个三倍角的做法(见下一篇文章。)但是,按 照这样的速度,每次循环只能将误差变成上一次的四分之三,这样的速度有些蜗牛了。不过,这提供了一个思路,于是,渔夫最终想到后面的做法,进而解决了全部 多边形(当然是那些尺规不可作的。)的做法精度问题。
正七边形的任意精度尺规作图及其数学原理 - 捉河蟹的渔夫 - 蒲汇塘渔夫

上图的做法还是从一个三倍角开始的,由于找到的三倍角做法精度很高,所以,几个循环就可以达到小数点后面第6位。顺着这个思路,再往下想,其实,那个三倍 角也无须特别的做法,只要按照同样的原理,从一个角开始就可以了,但不要像第一种做法那样再去凑三个角,否则无端增加误差三倍。

我把这种做法叫做乒乓法,就是,如果角是单数,就在对面找角平分线的点,如果是双数,就在自己这一边平分角,直到变成单数为止。如果,单数是1,那么一个循环结束。再进入下一个循环。

这种做法的数学原理见下图:
正七边形的任意精度尺规作图及其数学原理 - 捉河蟹的渔夫 - 蒲汇塘渔夫
从原理上说,即使从一个平角开始,都可以画成一个正七边形,只要5次循环,基本可以达到圆规察觉不出误差的精度了。

理论上讲,这种做法可以做出任意有理数的角(任意精度。),甚至有可能做出无理数的角度(例如,根号二分之一百八十度。)。这个留给喜欢奥数的同学去证明吧。如果证出来了,记得给我看看啊。
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